Внук писателя А.Н.Радищева, Алексей Петрович Боголюбов родился в селе Померанье в Новгородской губернии 16 (28) марта 1824 года в семье помещика, отставного полковника Петра Гавриловича Боголюбова и Фёклы Александровны Радищевой (1795-1845).
Рано лишившись отца, был отдан в Александровский малолетний кадетский корпус, а оттуда переведен в Морской кадетский корпус в Петербурге, окончив в звании мичмана в 1841 году. Служил адъютантом у вице-адмирала Александра Алексеевича Дурасова. Ещё будучи кадетом, Боголюбов начал заниматься живописью. В 1849 году был в числе офицеров корабля «Камчатка», на котором отправился на Мадейру герцог Максимилиан Лейхтенбергский. Познакомившись с рисунками Боголюбова, герцог посоветовал молодому офицеру посвятить себя искусству.
В 1850 году Боголюбов поступил в Академию художеств. Своим художественным образованием он по преимуществу обязан М. Н. Воробьёву и Б. П. Виллевальде. Обратил на себя внимание двумя видами Кронштадтской гавани и картиной «Наводнение в Кронштадтской гавани в 1824 г.». В 1852 году получил вторую золотую медаль за три картины: «Вид Смольного монастыря с Охты», «Бой брига „Меркурия“ с двумя турецкими кораблями» (из турецкой войны 1828 года) и «Отбытие е. и.в. герцога Максимилиана Лейхтенбергского из Лиссабона».
Боголюбов закончил Академию в 1853 году с первой золотой медалью и был назначен художником главного морского штаба. Оставив морскую службу, он в течение семи лет путешествовал по Европе. В Женеве пользовался советами знаменитого Калама; в Париже работал в мастерской Изабэ; в течение двух лет учился у Андреаса Ахенбаха. В 1856 году Боголюбов побывал в Константинополе, на Дунае и в Синопе, с целью написать несколько этюдов для картин, заказанных ему императором Николаем Павловичем.
Сопровождал будущего царя Александра III в путешествии по России и делал зарисовки.
По возвращении получил звание академика, а в 1860 году — профессора живописи. Тогда же Боголюбов устроил в залах Академии выставку своих произведений в пользу вдов и сирот художников. На этой выставке особенное внимание публики обратили на себя картины из истории нашего флота, заказанные российским императором, в особенности «Синоп» и «Кермес в Амстердаме». Император Александр II поручил Боголюбову написать в картинах историю флота Петра Великого.
По поручению гидрографического департамента Морского министерства Боголюбов плавал по Финскому заливу и шхерам, изображая берега и промеряя глубины в районах портов и шхерных проходов. Такой же атлас был им выполнен и в Каспийском море.
В 1871 году Боголюбов написал для православной церкви в Париже несколько фресок. В том же году он уступил Академии до 225 этюдов масляными красками и 800 рисунков сепией и акварелей.
Был основателем рисовального училища (с 1897 года — его имени) и Художественного музея имени А.Н. Радищева 1885 году в Саратове, завещал в этот музей свои произведения, ныне составляющие наиболее значительное собрание его работ. Последние годы жил в Париже, только изредка навещая Россию. Благодаря его инициативе, в Париже устроилось Общество взаимного вспомоществования русским художникам. В Саратове им устроен Музей имени Радищева, которому он приходился внуком.
Умер Боголюбов в Париже 7 ноября 1896.
